关系代数是关系数据库系统查询语言的理论基础。很有必要学习一下，有些是用代数表达式很方便的东西，用SQL写出来还是挺麻烦的，并不是想象当中那么直接。

一、关系代数的9种操作

关系代数中包括了：并、交、差、乘、选择、投影、联接、除、自然联接等操作。

五个基本操作
并(∪)、差(-)、笛卡尔积(×)、选择(σ)、投影(π)

四个组合操作

1. 交(∩) 2. 联接(等值联接) 3. 自然联接(R⋈S) 4. 除法(÷)

注2：等值连接表示先做笛卡尔积(×)之后，对相应列进行选择或等值关联后的结果(仅筛选行、不筛选列)

注2：自然连接表示两个关系中若有相同名称的属性，则自动作为关联条件，且仅列出一列

补充各种符号

1. 投影 π
2. 选择 σ
3. 重命名 ρ
4. 自然连接 ⋈
5. θ-连接和相等连接
6. 半连接 ⋉ , ⋊
7. 反连接 ▷
8. 除法 ÷
9. 左外连接 ⟕
10. 右外连接 ⟖
11. 全外连接 ⟗

二、关系代数表达式

由关系代数运算经有限次复合而成的式子称为关系代数表达式。这种表达式的运算结果仍然是一个关系。可以用关系代数表达式表示对数据库的查询和更新操作。

三、举例说明

设教学数据库中有3个关系：

学生关系S(SNO,SNAME,AGE,SEX)

学习关系SC(SNO,CNO,GRADE)

课程关系C(CNO,CNAME,TEACHER)

1. 检索学习课程号为C2的学生学号与成绩

   1 2 3

   SELECT SNO,GRADE FROM SC WHERE CNO='C2'

   1	π SNO,GRADE(σCNO='C2'(SC))

2. 检索学习课程号为C2的学生学号与姓名

   1 2 3 4

   SELECT SC.SNO,S.SNAME FROM SC,S WHERE SC.SNO=S.SNO AND SC.CNO='C2'

   1 2	π SNO,SNAME(σCNO='C2'(S⋈SC)) 此查询涉及S和SC，先进行自然连接，然后再执行选择投影操作。

   1 2 3

   π SNO,SNAME（S）cross（πSNO(σCNO='C2'(SC))） 自然连接的右分量为"学了C2课的学生学号的集合"。 此表达式比前一个表达式优化，执行起来要省时间、省空间。

3. 检索选修课程名为MATHS的学生学号与姓名

   1 2 3 4 5

   SELECT SC.SNO,S.SNAME FROM SC,S,C WHERE SC.SNO=S.SNO AND SC.CNO=C.CNO AND C.CNAME='MATHS'

   1	π SNO,SANME(σCNAME='MATHS'(S⋈SC⋈C))

4. 检索选修课程号为C2或C4的学生学号

   1 2 3 4

   SELECT SNO FROM SC WHERE CNO='C2' OR CNO='C4'

   1	π SNO(σ CNO='C2'∨CNO='C4'(SC))

5. 检索至少选修课程号为C2或C4的学生学号

   1 2 3 4 5

   SELECT SA.SNO FROM SC AS SA,SC AS SB WHERE SA.SNO=SB.SNO AND SA.CNO='C2' AND SB.CNO='C4'

   1	π 1(σ1=4∧2='C2'∧5='C4'（SC×SC）)

6. 检索不学C2课的学生姓名与年龄

   1 2 3 4 5 6 7

   SELECT SNAME,AGE FROM S MINUS SELECT S.SNAME,S.AGE FROM SC,S WHERE SC.SNO=S.SNO AND SC.CNO='C2'

   1	π SNAME,AGE（S）－πSNAME,AGE(σCNO='C2'（S⋈SC）)

7. 检索学习全部课程的学生姓名

   1 2 3 4

   π SNO,CNO(SC)÷πCNO(C) 先用除法取出选取所有课程的SNO集(除法可以理解为一个Filter) π SNAME(S ⋈ (πSNO,CNO(SC)÷πCNO(C))) 再关联S表取出SNAME

8. 检索所学课程包含S3所学课程的学生学号

   1 2	π SNO,CNO(SC)÷ πCNO(σSNO='S3'(SC)） 同样运用了除法的特性

9. 将新课程元组(‘C10’,’PHYSICS’,’YU’)插入到关系C中

   1	INSERT INTO C VALUES('C10','PHYSICS','YU')

   1 2	(C∪('C10','PHYSICS','YU')) 记住该符号的用法

10. 将学号S4选修课程号为C4的成绩改为85分

    1 2 3

    UPDATE SC SET GRADE=85 WHERE SNO='S4' AND CNO='C4'

    1 2 3

    （SC－（'S4','C4',?)∪('S4','C4',85)） 先用'－'实现DELETE功能，再用'∪'实现INSERT功能 注意使用?来表示检索时忽略该字段值

四、关系代数表达式的优化

目的：
为了系统在执行时既省时间又能提高效率。

基本策略：
先做选择，运用投影去除多余属性等等。

优化算法：
语法树(尽量提前做选择操作；在每个操作后，应做个投影操作，去掉不用的属性值)

例如：

1. π SNO,SNAME(σGRADE>60(S⋈SC)) 进行优化后转换为：2. π SNO,SNAME(πSNO,SNAME(S)⋈πSNO(σGRADE>60(SC)))
   –即提前做选择操作；在每个操作后，应做个投影操作，去掉不用的属性值

又如：

1. S(S#,SNAME,AGE,SEX)
2. SC(S#,C#,GRADE)
3. C(C#,CNAME,TEACHER)

π CNAME,TEACHER(σSEX=’女’(S⋈SC⋈C)) 进行优化后转换为：

πCNAME,TEACHER(C⋈πC#(πS#,C#(SC)⋈S#(σSEX=’女’(S))))

优化前和优化后的语法树如下所示：

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